引言

在人类社会生活的各个领域以及日常生活中，我们经常遇到一些决策问题，例如购物买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。买饭，则要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。过去人们处理这些问题往往是凭经验，靠主观定性的去分析，随意性较大并且缺少应有的科学性，因而常常造成重大的失误。层次分析法是将定性问题定量化处理的一种有效手段。面临各种各样的方案，要进行比较、判断、评价、最后做出决策，这个过程主观因素占有相当的比重给数学方法解决问题带来不便，而层次分析法却对这种场景有较好的应用。

基本思想

假设一个场景，我们现在去买一支钢笔，有四支钢笔供你选择，在选择这些钢笔的时候你会考虑一些因素，如质量、颜色、价格、外形、实用性，选择过程如下:

1、将质量、颜色、价格、外形、实用性进行排序
2、将每支钢笔的质量、颜色、价格、外形、实用性进行综合排序
3、决定买哪只钢笔

这就是层次分析法的一个基本思想

基本步骤

第一步：首先要建立模型的一个层次结构

目标层	买钢笔
准则层	质量	颜色	价格	外形	实用
方案层	可供选择的3只钢笔

第二步：构造对比矩阵

在做决策的过程中，我们需要考虑的因素一共有五个，我们需要对它进行一个排序，才能知道我们因素对我们做出决策的影响程度。

那么如何去做呢？

假设因素 $x_{i}$ 和因素 $x_{j}$ 的比值为 $a_{ij}$
那么我们可以列出一个表格：（其中 $i$ 和 $j$ 是相等的）

$x_{1}$ $x_{2}$ $\cdots$ $x_{j}$
$x_{1}$ $a_{11}$ $a_{12}$
$a_{1j}$
$x_{2}$ $a_{21}$ $a_{22}$
$a_{2j}$
$\vdots$

$x_{i}$ $a_{i1}$ $a_{i2}$
$a_{ij}$

如何选取 $a_{ij}$ 呢？

这里列举一种评价标度

重要性相同稍微重要重要很重要绝对重要
$a_{ij}$ 1 3 5 7 9
在每个等级之间的值也可以取，如2,4,6,8

第三步：一致性检验

一致性检验需要计算出几个指标（ $\lambda$ 为特征值， $n$ 为准则层的因素个数）

1、计算一致性指标 $CI$
$CI=\frac{\lambda _{max-n}}{n-1}$
2、计算相应的平均随机一致性指标 $RI$
$RI=\frac{\lambda _{max}^{'}-n}{n-1}$
为了方便，在这里给出随机一致性指标：

$n$ 1 2 3 4 5 6 7 8 9
$RI$ 0 0 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41 1.45
3、计算一致性比例 $CR$
$CR=\frac{CI}{RI}$
结论：当 $CR< 0.1$ 时，认为矩阵的不一致性时可以接受的，反之则需要修改矩阵直至通过检验

第四步：计算权重向量

求矩阵最大特征值所对应的向量并进行归一化即可作为权重向量

第五步：层次总排序即求各方案的综合得分

前面我们求的都是在一层中各因素的权重，这个过程称为单层次排序。不妨设准则层权向量 $W=(w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n})^{T}$ ，而方案层有 $l$ 个方案可供选择，且每个方案的权向量分别为 $\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{l}$ 。那么每个方案对最终目标的影响程度 $(C_{1},C_{2},\cdots ,C_{l})^{T}$ 就可以通过下面的式子算出来了。
$(C_{1},C_{2},\cdots ,C_{l})^{T}=(\beta _{1},\beta _{2},\cdots ,\beta _{l})_{l\times n}\cdot (w_{1},w_{2},\cdots ,w_{n})^{T}$
在最后结果李，得分最高的那一项即为最优方案

代码实现（MATLAB）

%层次分析法AHP
clear all
clc

%构建方案层的比较矩阵
B1 = [1 2 3; 1/2 1 2; 1/5 1/2 1];
B2 = [1 1/3 1/8; 3 1 1/3; 8 3 1];
B3 = [1 1 3; 1 1 3; 1/3 1/3 1];
B4 = [1 3 4; 1/3 1 1; 1/4 1 1];
B5 = [1 1 1/4; 1 1 1/4; 4 4 1];
B = [B1 B2 B3 B4 B5];

%构建准则层的比较矩阵
A = [1 1/2 4 3 3; 
    2 1 7 5 5; 
    1/4 1/7 1 1/2 1/3; 
    1/3 1/5 2 1 1; 
    1/3 1/5 3 1 1];

%方案层一致性判断
W1 = [];%方案层汇总的权值
RI = [0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 1.60 1.61 1.615 1.62 1.63];
for i = 1:5
    [m,n] = size(B(1:3,3*(i-1)+1:3*i));
    [V,D] = eig(B(1:3,3*(i-1)+1:3*i));%求得特征向量和特征根
    %求出最大特征值和它所对应的特征向量
    Max = D(1,1);
    pos = 1;
    for j = 1:n
        if D(j,j) > Max
            Max = D(j,j);
            pos = j;%记录最大特征值的位置
        end
    end
    w = abs(V(:,pos));%找出每个因素的权值
    w = w / sum(w);%归一化
    CI = (Max - n) / (n - 1);
    CR = CI / RI(n);
    if CR < 0.10
        X = ['方案层第',num2str(i),'个矩阵一致性可以接受！','   ','CR：',num2str(CR)];
        disp(X)
    else
        X = ['方案层第',num2str(i),'个矩阵一致性验证失败，请重新进行评分！'];
        disp(X)
    end
    W1 = [W1 w];
end

%准则层一致性判断
[m,n] = size(A);
[V,D] = eig(A);
Max = D(1,1);
pos = 1;
for j = 1:n
    if D(j,j) > Max
        Max = D(j,j);
        pos = j;
    end
end
w = abs(V(:,pos));
w = w / sum(w);
W2 = w;
CI = (Max - n) / (n - 1);
CR = CI / RI(n);
if CR < 0.10
    X = ['准则层矩阵一致性可以接受！','   ','CR：',num2str(CR)];
    disp(X)
else
    X = ['准则层矩阵一致性验证失败，请重新进行评分！'];
    disp(X)
end

%计算每个方案对最终目标的权值
disp('每个方案对最终目标的权值：')
answer = W1*W2

%最后计算结果为：
方案层第1个矩阵一致性可以接受！   CR：-0.14068
方案层第2个矩阵一致性可以接受！   CR：0.0014823
方案层第3个矩阵一致性可以接受！   CR：-2.135e-15
方案层第4个矩阵一致性可以接受！   CR：0.0088488
方案层第5个矩阵一致性可以接受！   CR：-8.5402e-16
准则层矩阵一致性可以接受！   CR：0.01609
每个方案对最终目标的权值：

answer =

    0.2888
    0.2522
    0.4590

模型缺点

（1）它智能从现有的方案中选择出较优的一个，并不能提供出一个新的或者是更好的方案
（2）该方法中的比较，判断以及结果都是比较粗略的，并不适合精确计算
（3）建立层次结构及构成对比矩阵，人的主观因素起很大作用，这是一个无法克服的缺点

	$x_{1}$	$x_{2}$	$\cdots$	$x_{j}$
$x_{1}$	$a_{11}$	$a_{12}$		$a_{1j}$
$x_{2}$	$a_{21}$	$a_{22}$		$a_{2j}$
$\vdots$
$x_{i}$	$a_{i1}$	$a_{i2}$		$a_{ij}$

	重要性相同	稍微重要	重要	很重要	绝对重要
$a_{ij}$	1	3	5	7	9

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基本思想

基本步骤

代码实现（MATLAB）

模型缺点